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<title>Logarithmische Darstellung</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Logarithmische Darstellung</span></h1>

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<p>Eine <b>logarithmische Darstellung</b> ist eine Form der Darstellung, bei der die durch eine Achse dargestellte Größe auf dieser proportional zum <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a> ihres Zahlenwerts aufgetragen ist. Somit entsprechen bei einer logarithmischen Darstellung gleiche Abstände auf der Achse gleichen Verhältnissen der dargestellten Größe.

</p><p>Beschriftet wird die Achse weiterhin durch die Zahlenwerte der dargestellten Größe selbst, und nicht durch deren Logarithmus.

</p><p>In einem <a href="Diagramm" title="Diagramm">Diagramm</a> kann diese Darstellung auf eine oder beide Achsen angewendet werden.

</p><p>

Der Vorteil der logarithmischen Darstellung zeigt sich dann, wenn die darzustellenden Werte viele <a href="Gr%C3%B6%C3%9Fenordnung" title="Größenordnung">Größenordnungen</a> umfassen. Denn da die Achsenabstände unabhängig von der Größenordnung der auftretenden Werte sind, werden so auch kleine Werte noch lesbar dargestellt.</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Übliche_Darstellungsmöglichkeiten"><span id=".C3.9Cbliche_Darstellungsm.C3.B6glichkeiten"></span>Übliche Darstellungsmöglichkeiten</h2></div>

<p>Wenn numerische Zusammenhänge im Vordergrund stehen, wird mit dem <a href="Dekadischer_Logarithmus" title="Dekadischer Logarithmus">dekadischen Logarithmus</a> gearbeitet; bei eher prinzipieller Betrachtung wird der <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus">natürliche Logarithmus</a> verwendet.

</p><p>Das abgebildete <a href="Bode-Diagramm" title="Bode-Diagramm">Bode-Diagramm</a> zeigt als Anwendung in der Elektrotechnik die Übertragungsfunktion eines <a href="Tiefpass" title="Tiefpass">Tiefpasses</a> über einen Frequenzbereich von mehr als vier Zehnerpotenzen.

</p><p>Vor allem vor der Einführung von Computergrafiken war <a href="Logarithmenpapier" title="Logarithmenpapier">Logarithmenpapier</a> ein wichtiges Hilfsmittel zur Darstellung. Für die Zeichnung von Diagrammen in logarithmischer Darstellung gibt es <a href="Einfachlogarithmisches_Papier" class="mw-redirect" title="Einfachlogarithmisches Papier">einfachlogarithmisches Papier</a> oder <a href="Doppeltlogarithmisches_Papier" class="mw-redirect" title="Doppeltlogarithmisches Papier">doppeltlogarithmisches Papier</a>. Die Möglichkeiten grafischer Darstellungen am Computer haben die Verwendung logarithmischer Skalen vereinfacht und den Gebrauch von solchem Papier stark reduziert.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Modellierung">Mathematische Modellierung</h2></div>

<p>Mit dem Übergang auf neue Variable

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=\log(x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69faf372681392265f3240a984b33765d66a9b62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.189ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=\log(x)}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y=\log(y)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y=\log(y)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86219c43bc66c9dae9a0e99511f116cc2198bbf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.808ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y=\log(y)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>ergeben sich für einige <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> Vereinfachungen in der Darstellung, und bestimmte Zusammenhänge werden veranschaulicht. Umgekehrt lässt sich aus einem geradlinigen Verlauf in einer Folge von Messpunkten bei geeignet geteilten Achsen auf die zugrunde liegende Funktion schließen.

</p><p>Ein <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Potenzgesetz</a> wird in doppelt logarithmischer Darstellung zur Geraden

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\,x^{b}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bX}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b262437506dc86dee2bcfe3a2a83c1f587c0101.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.485ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y=a\,x^{b}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bX}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Sonderfall einer nach rechts unter einem Winkel von 45° fallenden Geraden (bei gleichen Maßstäben auf beiden Achsen) weist auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=-1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fed9de3e9fd089ca51cac7892522579fdad649e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.067ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b=-1}" loading="lazy"></span>, also auf <a href="Umgekehrte_Proportionalit%C3%A4t" title="Umgekehrte Proportionalität">umgekehrte Proportionalität</a>.

</p><p>Ein <a href="Exponentieller_Verlauf" class="mw-redirect" title="Exponentieller Verlauf">exponentieller Verlauf</a> lässt sich in einfach logarithmischer Darstellung als Gerade darstellen

</p>

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</mrow>

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</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{bx}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bx\cdot \log(\mathrm {e} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20803d153ea31367b3a67088abf86a2372bc1c28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.97ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{bx}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bx\cdot \log(\mathrm {e} )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Eine Funktion von der Form einer <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> (gaußsche Glockenkurve) wird in einfach logarithmischer Darstellung zu einer <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabel</a>

</p>

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</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{bx^{2}}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bx^{2}\cdot \log(\mathrm {e} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54cfe599d1d9e6c712f0993768dfe3d087ff439b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.856ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{bx^{2}}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bx^{2}\cdot \log(\mathrm {e} )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Eine Funktion von der Form einer <a href="Logarithmische_Normalverteilung" title="Logarithmische Normalverteilung">logarithmischen Normalverteilung</a> wird in einfach logarithmischer Darstellung zu einer <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> und in doppelt logarithmischer Darstellung zu einer <a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabel</a>

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{b(\log(x))^{2}}\,\Rightarrow \;y=a\,\mathrm {e} ^{bX^{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5af46deaf0ca5c3195a415f0131437aea61d9217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.004ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{b(\log(x))^{2}}\,\Rightarrow \;y=a\,\mathrm {e} ^{bX^{2}}}" loading="lazy"></span></dd>

<msup>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{b(\log(x))^{2}}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bX^{2}\cdot \log(\mathrm {e} )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0bb95ee9dfa4ff1c0af7e5c21df598fa5d1af3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.183ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle y=a\,\mathrm {e} ^{b(\log(x))^{2}}\,\Rightarrow \;Y=\log(a)+bX^{2}\cdot \log(\mathrm {e} )}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Anwendungen">Weitere Anwendungen</h2></div>

<p>Für bestimmte Aufgabenstellungen hat es sich eingebürgert, eine Achse als Logarithmus des Logarithmus zu skalieren (log(log(y))), beispielsweise die vertikale Achse bei der grafischen Darstellung von Öl-<a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskositäten</a> nach Ubbelohde-Walther oder im <a href="Weibull-Verteilung" title="Weibull-Verteilung">Weibull</a>-Wahrscheinlichkeitspapier.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Hier wird die zweifach logarithmierte Achse gelegentlich auch als doppelt-logarithmisch bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie – 3, „Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten“, herausgegeben vom VDA 2000, <span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220943-9412%22&key=cql">0943-9412</a></span></span>, Abschnitt 2.4.3</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Xkcd" title="Xkcd">xkcd-Webcomic</a>: Humorvolle Comic-Darstellung von <a rel="nofollow" class="external text" href="https://xkcd.com/482/">sehr großen</a> und <a rel="nofollow" class="external text" href="https://xkcd.com/485/">sehr kleinen</a> Längenskalen</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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